數(shù)學家揭示“等于”在數(shù)學中具有多種含義

有一些漂亮的模糊的概念在數(shù)學中，這可能很難理解，但“等于”的含義是我們認為我們已經(jīng)涵蓋的含義。

事實證明，數(shù)學家實際上無法就兩個事物相等的定義達成一致，這可能會給越來越多地用于檢查數(shù)學證明的計算機程序帶來一些麻煩。

這場學術爭吵已經(jīng)持續(xù)了幾十年，但最終達到了頂峰，因為用于“形式化”或檢查證明的計算機程序需要有明確、具體的指令;不是對數(shù)學概念的模棱兩可的定義，這些概念可以解釋或依賴于計算機所沒有的上下文。

倫敦帝國理工學院的英國數(shù)學家凱文·巴扎德（Kevin Buzzard）在與計算機程序員合作時遇到了這個問題，這促使他重新審視定義“這等于那”，“挑戰(zhàn)各種關于平等的合理口號”。

“六年前，”Buzzard在他的預印本中寫道發(fā)布到 arXiv 服務器，“我以為我理解了數(shù)學相等。我以為這是一個定義明確的術語......然后我開始嘗試在計算機定理證明器中做碩士水平的數(shù)學，我發(fā)現(xiàn)相等是一個比我想象的更棘手的概念。

等號 （=） 的兩條平行線優(yōu)雅地表示放置在兩側的物體之間的奇偶校驗，是由威爾士數(shù)學家發(fā)明的，羅伯特·雷克雷，在1557年。

它一開始沒有流行起來，但隨著時間的推移，Recorde 的出色直觀符號取代了拉丁語短語“aequalis”和后來奠定了基礎用于計算機科學。在發(fā)明整整 400 年后，等號于 1957 年首次被用作計算機編程語言 FORTRAN I 的一部分。

平等的概念有一個更長的歷史不過，至少可以追溯到古希臘?，F(xiàn)代數(shù)學家在實踐中使用“相當松散”的術語，Buzzard寫.

在熟悉的用法中，等號設置了描述代表相同值或含義的不同數(shù)學對象的方程式，這可以通過一些開關和左右邏輯轉換來證明。例如，整數(shù) 2 可以描述一對對象，1 + 1 也可以。

但是，自19世紀末集合論出現(xiàn)以來，數(shù)學家們一直在使用相等的第二種定義。

集合論不斷發(fā)展，數(shù)學家對等式的定義也隨之擴展。像 {1， 2， 3} 這樣的集合可以被認為是與像 {a， b， c} 這樣的集合“相等”的，因為有一種稱為規(guī)范同構的隱式理解，它比較了群結構之間的相似性。

“這些集合以一種完全自然的方式相互匹配，數(shù)學家們意識到，如果我們也稱它們相等，那將非常方便，”Buzzard說告訴新科學家亞歷克斯·威爾金斯。

然而，將規(guī)范同構視為平等現(xiàn)在正在造成“一些真正的麻煩”，Buzzard寫，對于試圖使用計算機形式化證明（包括幾十年前的基礎概念）的數(shù)學家來說。

“到目前為止，沒有一個（計算機）系統(tǒng)能捕捉到格羅滕迪克等數(shù)學家使用等號的方式，”Buzzard說告訴威爾金斯指的是亞歷山大·格羅滕迪克（Alexander Grothendieck），他是20世紀的主要數(shù)學家，他依靠集合論來描述相等性。

一些數(shù)學家認為他們應該重新定義數(shù)學概念，以形式等同于具有相等性的規(guī)范同構。

Buzzard不同意。他認為，數(shù)學家和機器之間的不一致應該促使數(shù)學思維重新思考他們所說的數(shù)學概念到底是什么意思，因為數(shù)學概念是平等的基礎，這樣計算機就可以理解它們。

“當一個人被迫寫下自己的真正含義，并且無法躲在這些定義不清的詞語后面時，”巴扎德說寫.“人們有時會發(fā)現(xiàn)自己必須做額外的工作，甚至重新思考某些想法應該如何呈現(xiàn)?！?/p>

該研究已發(fā)布在arXiv（阿爾希夫酒店）.

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